Real Constant Coefficient Linear ODE의 해를 구하는 방법

Section 1. Homogeneous Equations

$L[y]=y^{(n)}+c_1y^{(n-1)}+\cdots +c_{n-1}y'+c_ny=0$을 풀 때

 

Characteristic Equation $r^n+c_1r^{n-1}+\cdots +c_{n-1}r+c_n=0$의 해를 $r_1,r_2,\cdots,r_n$이라 하자.

 

case 1) 실근이 있을 때

$y=e^{rt}$일 때 $L[y]=0$이 성립하기 때문에, 해가 된다.

 

case 2) 허근이 있을 때

$r=a+bi$라고 하면 $r=a-bi$도 해이고, 이 두 근에 따른 해 $y=e^{at} \cos(bt), y=e^{at} \sin(bt)$가 존재한다. 그냥 $e^{ix}$를 복소수로 표현한 것을 적당히 선형결합 취한다고 생각하면 위 두 꼴이 해가 됨을 알 수 있다.

 

case 3) 위 두 경우에서 중복도가 $k$인 경우

$te^{rt}, t^2e^{rt},\cdots,t^{k-1}e^{rt}$ 꼴도 해가 됨을 알 수 있다.

 

이렇게 하면 총 $n$개의 일차독립인 해를 찾을 수 있으므로, 일반해를 구할 수 있다. (기본 해집합을 구할 수 있다.)

 

Section 2. Nonhomogeneous Equations

$L[y]=y^{(n)}+c_1y^{(n-1)}+\cdots +c_{n-1}y'+c_ny=g(t)$를 풀 때

 

두 해 $y_1, y_2$에 대하여 $L[y_1]=g(t), L[y_2]=g(t)$이므로 $L[y_1-y_2]=L[y_1]-L[y_2]=0$

즉, 임의의 두 해의 차이가 $L[y]=0$의 해임을 알 수 있다.

 

따라서 일반해를 찾기 위해서는 $L[y]=g(t)$를 만족하는 어떤 특수해(particular solution) $y_p$를 찾은 후, 해당 미분방정식의 Homogeneous 부분의 해인 여함수(complementary solution) $y_c$를 더해주면 된다.

 

$y_p$를 찾는 방법에는 크게 두 가지가 있다.

 

1) 미정계수법(Method of Undetermined Coefficient)

$g(t)$의 꼴에 따라 특수해가 어떠한 형태일 것이라고 가정한 뒤 그 계수를 정하는 방법이다. 각 가정들의 타당함은 생각해보면 알 수 있다.

 

여함수 부분과 $g(t)$의 겹치는 꼴 개수를 $s$라고 하자.

 

case 1) $g(t)=P_n(t)=a_0t^n+\cdots+a_{n-1}t+a_n$인 경우

$y_p=t^s(A_0 t^n + A_1 t^{n-1} + \cdots + A_n)$

 

case 2) $g(t)=P_n(t) e^{\alpha t}$인 경우

$y_p=t^s(A_0 t^n + A_1 t^{n-1} + \cdots + A_n)e^{\alpha t}$

 

case 3) $g(t)=P_n(t) e^{\alpha t} \cos(\beta t) / \sin(\beta t)$인 경우

$y_p=t^s((A_0 t^n + A_1 t^{n-1} + \cdots + A_n)e^{\alpha t} \cos(\beta t) + (B_0 t^n + B_1 t^{n-1} + \cdots + B_n)e^{\alpha t} \sin(\beta t)$

 

이렇게 가정한 뒤 미분방정식에 직접 대입하여 계수들을 구한다.

 

2) 매개변수 변환법(Variation of Parameters)

$y_1,y_2,\cdots,y_n$이 $L[y]=0$의 해일 때

 

$y_p=u_1y_1+u_2y_2+\cdots+u_ny_n$이고

$u_1'y_1+u_2'y_2+\cdots+u_n'y_n=0,$

$u_1'y_1'+u_2'y_2'+\cdots+u_n'y_n'=0,$

$u_1'y_1''+u_2'y_2''+\cdots+u_n'y_n''=0,$

                             $\vdots$

$u_1'y_1^{(n-1)}+u_2'y_2^{(n-1)}+\cdots+u_n'y_n^{(n-1)}=g(t)$

 

위 식들을 만족한다고 가정한다면, 명백하게 $y_p$는 $L[y]=g(t)$의 해임을 알 수 있다.

여기서 론스키 행렬식의 행렬을 $A$라고 했을 때

 

$ \displaystyle A \textbf{v}= \left[ \begin{matrix} 0 \\ 0 \\ \vdots \\ g(t) \end{matrix} \right] $의 해 $ \displaystyle \textbf{v}= \left[ \begin{matrix} u_1' \\ u_2' \\ \vdots \\ u_n' \end{matrix} \right] $이므로, 크레이머 공식을 사용하면 다음을 얻을 수 있다.

 

$ \displaystyle y_p=\sum_{i=1}^{n}y_i(t)  \int_{t_0}^{t} \frac{g(s)W_i(s)}{W(s)}ds $

여기서 $t_0$는 문제가 정의된 구간 $I$의 임의의 점이고 $W_i$는 $i$번째 열을 $(0, 0, \cdots, 1)^T$로 대체한 것이다. 

 

여함수를 구한 후 적당히 미정계수법이나 매개변수 변환법을 사용하여 특수해를 구하면 (실수에서) 비동차 상수계수 선형미분방정식의 일반해를 구할 수 있다.

 

Reference

Boyce, W. E., DiPrima, R. C., & Meade, D. B. (2021). Elementary differential equations and boundary value problems. John Wiley & Sons.