ODE - theorem들

1.

어떤 구간 $I$에서 $p_1(t), p_2(t),\cdots, p_n(t), g(t)$가 연속일 때, 임의의 $t_0 \in I$에 대해 다음 IVP

$L[y]=y^{(n)}(t)+p_1(t)y^{(n-1)}(t)+\cdots+p_1(t)y'(t)+p_0(t)y(t)=g(t)$

$y(t_0)=y_0, y'(t_0)=y'_0, \cdots, y^{(n-1)}(t_0)=y_0^{(n-1)}$

가 구간 $I$ 전체에서 성립하는 유일한 해를 가진다.

 

2. 

$y_1, y_2, \cdots, y_n$이 구간 $I$에서 $L[y]=0$의 해일 때, 구간 I의 어떤 한 점에서 $W[y_1, y_2, \cdots, y_n] \neq 0$라면 $L[y]=0$의 모든 해는 $y_1, y_2, \cdots, y_n$의 일차결합으로 표현할 수 있다. (즉, 기본 해집합이다.)

 

3. 

구간 $I$에서 $L[y]=0$의 $n$개의 해 $y_1, y_2, \cdots, y_n$에 대하여 구간 $I$에서 $y_1, y_2, \cdots, y_n$이 일차독립인 것과 $L[y]=0$의 기본 해집합인 것은 동치이다.

 

2, 3은 론스키안을 구할 때 사용하는 행렬을 이용하여 비교적 쉽게 증명 가능하다. 다만 3에서 기본해집합->일차독립임을 증명할 때 $y_0=y'_0= \cdots =y_0^{(n-1)}=0$인 IVP의 해가 $y=0$으로 유일함을 이용하는 것만 기억해 두자.

 

4. 

$R : {(t, y) | a\leq t \leq b, c \leq y \leq d}$에서 $f$와 $\partial f \over \partial y$가 연속일 때, $t_0 \in (a, b)$에 대해 IVP $y'=f(t,y), y(t_0)=0$가 $t_0$ 근방에서 유일한 해를 가진다.

 

Reference

Boyce, W. E., DiPrima, R. C., & Meade, D. B. (2021). Elementary differential equations and boundary value problems. John Wiley & Sons.