취미로PS하는사람

Fraleigh의 Advanced Group Theory 부분에 대한 정리이다. Sylow Theorem을 응용하면 특정 차수의 Group에 대해 simple인지 아닌지, 특정 크기의 normal subgroup이 얼마나 있을 수 있는지 등을 판별할 수 있는데, 이 과정에서 이전에 배웠던 내용을 자주 사용해 지금까지 배운 내용들에 대한 전반적인 이해가 필요했다.

나중에 순서가 조금 엉망이 될 수도 있지만, 우선 현대대수학 2 중간고사를 준비하며 정리했던 내용을 올린다. Extension fields에 관한 내용이고, 주로 algebraic extension의 여러 성질들을 다룬다.

Section 1. Laplace Transform $\displaystyle \mathcal{L}\{f(t)\}:=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)dt$로 정의한다. 이와 관련된 몇 가지 정리들을 알아보자. Thm 1.1 $f(t)$가 임의의 양수 $A$에 대해 $[0, A]$에서 조각적 연속이고 어떤 양수 $K,M>0,a$가 존재하여 $t \geq M$에서 $|f(t)| \leq Ke^{at}$를 만족할 때, $\mathcal{L}\{f(t)\}$가 $s>a$에서 존재한다. pf. 간단하게 $t \geq M$인 구간과 $t < M$인 구간으로 나누면 자명하게 수렴한다. 생략. Thm 1.2 $f(t)$가 $t \geq 0$에서 주기가 $T$인 주기함수일 때 $\displaystyl..

Section 1. Homogeneous Equations $L[y]=y^{(n)}+c_1y^{(n-1)}+\cdots +c_{n-1}y'+c_ny=0$을 풀 때 Characteristic Equation $r^n+c_1r^{n-1}+\cdots +c_{n-1}r+c_n=0$의 해를 $r_1,r_2,\cdots,r_n$이라 하자. case 1) 실근이 있을 때 $y=e^{rt}$일 때 $L[y]=0$이 성립하기 때문에, 해가 된다. case 2) 허근이 있을 때 $r=a+bi$라고 하면 $r=a-bi$도 해이고, 이 두 근에 따른 해 $y=e^{at} \cos(bt), y=e^{at} \sin(bt)$가 존재한다. 그냥 $e^{ix}$를 복소수로 표현한 것을 적당히 선형결합 취한다고 생각하면 위 두 꼴이..

1.어떤 구간 $I$에서 $p_1(t), p_2(t),\cdots, p_n(t), g(t)$가 연속일 때, 임의의 $t_0 \in I$에 대해 다음 IVP$L[y]=y^{(n)}(t)+p_1(t)y^{(n-1)}(t)+\cdots+p_1(t)y'(t)+p_0(t)y(t)=g(t)$$y(t_0)=y_0, y'(t_0)=y'_0, \cdots, y^{(n-1)}(t_0)=y_0^{(n-1)}$가 구간 $I$ 전체에서 성립하는 유일한 해를 가진다. 2. $y_1, y_2, \cdots, y_n$이 구간 $I$에서 $L[y]=0$의 해일 때, 구간 I의 어떤 한 점에서 $W[y_1, y_2, \cdots, y_n] \neq 0$라면 $L[y]=0$의 모든 해는 $y_1, y_2, \cdots, y_n$의 일차결..