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Fraleigh의 Advanced Group Theory 부분에 대한 정리이다. Sylow Theorem을 응용하면 특정 차수의 Group에 대해 simple인지 아닌지, 특정 크기의 normal subgroup이 얼마나 있을 수 있는지 등을 판별할 수 있는데, 이 과정에서 이전에 배웠던 내용을 자주 사용해 지금까지 배운 내용들에 대한 전반적인 이해가 필요했다.

나중에 순서가 조금 엉망이 될 수도 있지만, 우선 현대대수학 2 중간고사를 준비하며 정리했던 내용을 올린다. Extension fields에 관한 내용이고, 주로 algebraic extension의 여러 성질들을 다룬다.

Section 0. Preview 앞으로 Analysis에서는 PMA 위주로 김김계의 일부분을 섞어 작성할 것이다. 1장에서는 주로 실수가 무엇인지 배운다. 주요 내용은 완비성(completeness, lubp), 유리수로부터 실수를 구축하는 것(데데킨드 컷), 완비순서체는 실수가 유일한 것 정도이다. 복소수도 간략하게 다룬다. 체의 정의와 성질이나 벡터공간에 관한 것은 다른 분야에서 더 formal하게 다룬다고 생각하여 제외했다. Section 1. Ordered Sets Def 1.1.1 Let $S$ be a set. Order on $S$ is a relation s.t. (1) $x, y \in S \Rightarrow$ only one of $x

Section 1. Laplace Transform $\displaystyle \mathcal{L}\{f(t)\}:=\int_{0}^{\infty} e^{-st}f(t)dt$로 정의한다. 이와 관련된 몇 가지 정리들을 알아보자. Thm 1.1 $f(t)$가 임의의 양수 $A$에 대해 $[0, A]$에서 조각적 연속이고 어떤 양수 $K,M>0,a$가 존재하여 $t \geq M$에서 $|f(t)| \leq Ke^{at}$를 만족할 때, $\mathcal{L}\{f(t)\}$가 $s>a$에서 존재한다. pf. 간단하게 $t \geq M$인 구간과 $t < M$인 구간으로 나누면 자명하게 수렴한다. 생략. Thm 1.2 $f(t)$가 $t \geq 0$에서 주기가 $T$인 주기함수일 때 $\displaystyl..

Section 1. Homogeneous Equations $L[y]=y^{(n)}+c_1y^{(n-1)}+\cdots +c_{n-1}y'+c_ny=0$을 풀 때 Characteristic Equation $r^n+c_1r^{n-1}+\cdots +c_{n-1}r+c_n=0$의 해를 $r_1,r_2,\cdots,r_n$이라 하자. case 1) 실근이 있을 때 $y=e^{rt}$일 때 $L[y]=0$이 성립하기 때문에, 해가 된다. case 2) 허근이 있을 때 $r=a+bi$라고 하면 $r=a-bi$도 해이고, 이 두 근에 따른 해 $y=e^{at} \cos(bt), y=e^{at} \sin(bt)$가 존재한다. 그냥 $e^{ix}$를 복소수로 표현한 것을 적당히 선형결합 취한다고 생각하면 위 두 꼴이..